Bu dizide hep aynı örnekten yola çıktık: Benim boyum 1,85 metre. Bu ölçümün güzel bir özelliği var. Boyumu bir metrelik bir cetvelle de ölçseniz, milimetrik bir cetvelle de ölçseniz sonuç aşağı yukarı aynı. Çünkü boyum düz bir çizgi.
Peki her şey böyle mi?
Kıyı Şeridi Paradoksu
1967’de matematikçi Benoit Mandelbrot, ünlü bir makalede basit görünen bir soru sordu: Britanya’nın kıyı şeridi ne kadar uzun?
Cevap, kullandığınız cetvele bağlı. 100 kilometrelik bir cetvelle haritada ölçerseniz koyları ve burunları atlarsınız, bir uzunluk bulursunuz. 10 kilometrelik bir cetvelle ölçerseniz o koyların içine de girersiniz, uzunluk artar. Bir metrelik bir cetvelle sahilde yürürseniz her kayanın çevresinden dolaşırsınız, uzunluk daha da artar. Cetvel küçüldükçe kıyı uzamaya devam eder.
Mandelbrot’un fikri şuydu: Böyle bir şekli anlatmak için “uzunluk” doğru soru değil. Doğru soru, cetvel küçüldükçe uzunluğun ne hızla arttığı. Bu hız, şeklin ne kadar pürüzlü olduğunu anlatan bir sayı veriyor: fraktal boyut.
Bir İle İki Arasında Bir Boyut
Düz bir çizginin boyutu 1, bir kâğıt yaprağının boyutu 2. Kıyı şeridi gibi pürüzlü bir eğri ise bu ikisinin arasında bir yerde. Ne tam bir çizgi, ne de bir yüzey. Ne kadar kıvrımlı ve girintili çıkıntılıysa boyutu 2’ye o kadar yaklaşıyor. Mandelbrot’un makalesinde aktardığı ölçümlere göre Britanya’nın batı kıyısının boyutu yaklaşık 1,25.
Bu pürüzün ilginç bir özelliği daha var: Çoğu zaman her ölçekte benzer görünüyor. Bir eğrelti otunun yaprağına ya da romanesco brokolisine bakın. Küçük parçası, bütününün küçültülmüş bir kopyası gibi. Buna öz-benzerlik deniyor.
EEG De Bir Kıyı Şeridi
Ekranda bir EEG kaydına bakın: Düz bir çizgi değil, sürekli inip çıkan, girintili çıkıntılı bir eğri. Yakınlaştırdıkça yeni kıvrımlar ortaya çıkıyor. Yani EEG, bir kıyı şeridine benziyor.
Fraktal boyutu EEG’ye uygulamanın en yaygın yollarından biri Higuchi yöntemi. Fikir doğrudan kıyı şeridinden geliyor: Sinyalin “uzunluğunu” farklı adım boylarıyla, yani farklı cetvellerle ölçüyor ve uzunluğun adım boyuna göre nasıl değiştiğine bakıyoruz. Ortaya 1 ile 2 arasında bir sayı çıkıyor. Düzgün, yavaş salınan bir sinyal 1’e, düzensiz ve hızlı değişen bir sinyal 2’ye daha yakın.
Neden Önemli?
Spektral ve zamansal özelliklerin çoğu, sinyalin doğrusal bir sistemden geldiğini varsayıyor. Beyin ise doğrusal bir sistem değil. Fraktal boyut, entropi gibi doğrusal olmayan özellikler, sinyalin karmaşıklığını başka bir açıdan yakalıyor. Zihinsel yük, uyku evreleri ya da yaşla birlikte değişen beyin dinamikleri gibi konularda sinyalin karmaşıklığındaki değişimleri izlemek için kullanılıyor.
Laboratuvarımızda da koku uyaranlarını EEG’den ayırt etmeye çalıştığımız çalışmalardan birinde doğrusal ve doğrusal olmayan özellikleri karşılaştırdık.
Yani bir sinyali anlatmanın üç yolu var: hangi ritimlerden oluştuğu (spektral), zamanda nasıl davrandığı (zamansal) ve ne kadar pürüzlü olduğu (fraktal). En iyi sonuçları genellikle üçünü birlikte kullandığımızda alıyoruz.
Kaynaklar
- Mandelbrot, B. (1967). How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension. Science, 156(3775), 636–638. DOI: 10.1126/science.156.3775.636
- Higuchi, T. (1988). Approach to an irregular time series on the basis of the fractal theory. Physica D: Nonlinear Phenomena, 31(2), 277–283. DOI: 10.1016/0167-2789(88)90081-4
- Akbuğday, B., Akan, A., Pehlivan, S., Sadıkzade, R. (2022). An Assessment of Linear and Nonlinear Features for Detecting Olfactory Stimulus in EEG. IEEE TIPTEKNO. DOI: 10.1109/tiptekno56568.2022.9960190